Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Die Grenzen bilden können allgemein zu den ganzen Zahlen, zu den rationalen Zahlen, wo wir auch die Quotienten haben,

beschließlich eben zum Körper. Also in der Hinsicht werden die rationalen Zahlen und die reellen Zahlen eigentlich sozusagen perfekt zum Rechnen.

In diesem Sinne sind sie auch weitestgehend, aber an einigen ganz wesentlichen Stellen brauchen wir etwas mehr und das liefern uns jetzt die komplexen Zahlen.

Also noch einmal, was sind die komplexen Zahlen? Die komplexen Zahlen sind einfach die Zahlebene, also der R2, mit eingebraschen Strukturen versehen,

die die Adition genau der Vektor-Adition entspricht. Und die Frage ist jetzt, wie führt man die Multiplikation ein? Und wir haben das hier so gemacht, dass wir...

Warum geht denn das jetzt mal wieder nicht? Na ja gut. Man kann nicht zu viel verlangen von diesen Geräten.

Ein bisschen was muss man Ihnen schon geben. Ausgangspunkt unserer Überlegung war diese Menge, die sogenannte konforme Gruppe,

die schon so eine verräterische Bezeichnung hat, die, wie wir gesehen haben, gerade in der Ebene Drehstreckungen darstellen.

Das sind also lineare Operationen, die gerade mit der euklidischen Länge aus dem Vektor AB strecken oder stauchen und dann eben drehen,

gemäß eines Winkels, dessen Cosinus A und dessen Sinus B ist, geteilt durch die betreffende Länge.

Und was wir geometrisch haben wollen, dass die Multiplikationsoperation gerade dieser Hinter-Einander-Ausführung von Drehstreckungen entspricht.

Insofern haben wir einfach jetzt die Operation, die wir hier haben, und da können wir direkt ausrechnen, was eben das Produkt zwar ja Drehstreckungen ist,

haben wir wieder zurück übertragen in die Zahlenebene. Das heißt also, wir sagen jetzt, wir möchten Zahlen dadurch multiplizieren.

Das ist erst einmal nur eine neue formale Schreibweise für das Tupel, was wir gleich mit Leben füllen,

in dem wir die jeweils ersten Komponenten miteinander multiplizieren, die jeweils zweiten, die Differenz bilden,

und dann die beiden Kreuzprodukte, also erste mit zweite Komponente, zweite mit erste Komponente multiplizieren und dann aufaddieren für die zweite Komponente hier.

Sieht ein bisschen kompliziert aus, kommt aber notwendigerweise aus dieser geometrischen Forderung und heißt jetzt einfach,

komplexe Zahlen werden dadurch multipliziert, indem man den zugehörigen Winkel, also den Winkel zur X-Achse, diese Winkel addiert und die Längen multipliziert.

Das heißt also, wenn ich mit einer reellen Zahl, und das kann man schon mal im Vorgriff, jetzt gilt das nicht nur für Zahlen,

das ist auch die Frage, damit wird auch beantwortet, was macht überhaupt eine komplexe Zahl, wenn ich sie speziell mit einer reellen Zahl als Teilmenge der komplexen Zahlen multipliziere,

und man kann einen Schritt weiter gehen und kann sich fragen, was passiert, wenn ich einen Vektor aus reellen Zahlen mit einer komplexen Zahl multipliziere,

und das sehen wir jetzt schon, es passiert gerade diese geometrische Operation.

Wenn ich einen Vektor aus reellen Zahlen mit einer reellen Zahl immer wieder multipliziere, dann heißt das einfach nur, ich strecke oder stauche den fortwährend.

Wenn ich mit einer komplexen Zahl multipliziere, kommt diese Drehbewegung mit dazu.

Okay, also jetzt sind wir so weit, dass wir diese Operationen haben, und da wir hier auf dem Raum der konformen Gruppe eben schon viele Eigenschaft haben,

überträgt sich das alles und in der Summe haben wir die Körpereigenschaften.

Jetzt fehlen uns noch zwei Dinge, das eine ist diese Notation mit dem i, die bisher nur eine Art formale Schreibweise für das Tupel war, dem einen Sinn zu geben,

und das machen wir dadurch, indem wir ein neues Element in dieser Menge einen speziellen Namen geben, nämlich das Element 0,1, also in der formalen Schreibweise 0 plus 1i,

da kommt das also sozusagen schon zusammen, das nennen wir die Zahl i, die imaginäre Einheit.

Das heißt also, wieder in der Zahlebene dargestellt wäre das sozusagen der zweite Einheitsvektor.

Und wenn wir jetzt dieses Produkt hier ausrechnen, entweder, ja, wir können vielleicht nochmal, jetzt können wir das Produkt ausrechnen, was i mal i ist,

entweder über diese Formel oder über diese Interpretation als Drehstreckung, welchen Winkel würde das denn jetzt also entsprechen, die Zahl i?

Ich hab gerade gesagt, welcher Vektor das ist.

Ja, ziemlich offensichtlich, oder?

Ich habe 90 Grad und wenn ich dann zwar i mal i, die Länge ist 1, also also die Länge ändert sich nichts, das heißt, ich hab 90 plus 90 und dann bin ich also sozusagen bei minus 1 angelangt.

Also ich hab das auch rein geometrisch argumentiert.

Wir hätten es auch anders machen können, wir hätten sozusagen, und so sind historisch mal die komplexen Zahlen entstanden, wir können, und deswegen auch diese etwas seltsame Bezeichnung imaginäre Einheit,

das klingt ja so, als wenn es das gar nicht wirklich gibt. Man könnte hätte postulieren können, wir haben eine neue Zahl, die diese Eigenschaft hat.

In den reellen Zahlen gibt es die Zahlen nicht, das haben wir schon mehrfach diskutiert, dass das sozusagen das Paradebeispiel ist, dass wir in den reellen Zahlen durchaus Polynome haben,

die nicht konstant sind und keine Nullstellen haben, und das wäre eben das Paradebeispiel x² plus 1.

Das hat also jetzt anscheinend, dieses Beispiel hat also anscheinend durchaus jetzt eine Nullstelle in den komplexen Zahlen, und wenn wir, wir könnten noch von der Existenz dieser Zahl ausgehen

und dann einfach hier sozusagen mit den notwendigen Rechenregeln eines Körpers hier rechnen, würden dann notwendigerweise auf diese Darstellung der Multiplikation kommen.

Okay. So. Ja, wir haben ja, wir sind ja in den komplexen Zahlen, wir haben ja gesagt, wir haben einen Körper, das heißt wir haben insbesondere inverse für jedes von Null verschiedene Element,

und das können wir auch sofort wieder bestimmen, indem wir diese sozusagen strukturerhaltende Beziehung zur konformen Gruppe hernehmen.

In der konformen Gruppe können wir die Umkehrdrehstreckung sofort angeben. Wir müssen die Stauchungstreckung aufheben, also eins durch die Länge,

und haben hier dann dementsprechend ja die Inverse noch zu berechnen, dann würde hier erstmal diese Zahl mit hoch einhalb stehen,

dann haben wir die Inverse der 2 Kreuz 2 Matrix zu berechnen, dann würde noch mal als eins durch Determinante diese Zahl mit hoch einhalb entstehen,

also zusammen genau der Faktor, und dann müssen wir halt die Inverse berechnen, das heißt wir vertauschen A mit A, und wir wechseln die Vorzeichen bei B und bei minus B,

und dann steht das hier da, beziehungsweise jetzt in unserer Schreibweise geschrieben in dieser Form.